​log的定义域是什么(带你了解对数函数)

log的定义域是什么(带你了解对数函数)

1. 基本问题说明

“求函数定义域”是最广泛使用的基础应用（没有之一，每次考试都必定会涉及），因为一般每个函数都要先明确的定义域。

但是在大考中，该基础应用一般不会显式、独立地出题（即一般不会出只求定义域的题），往往会在题目中作为限制条件、考查细节（特别是常见的易错点）。

因此，求解问题前，能否正确地明确或求出定义域是正确解题的必要条件。

2. 解决问题的一般方法

1) 原则：只要遇到函数，就先确定其定义域的状况。

2) 易错点：有关定义域（特别是隐式）的限制或细节（边界）往往是易错点。务必养成细心和确认定义域的意识和习惯，否则一不小心就掉“坑”里了。

3) 一般方法：

a) 求常见函数定义域时应考虑的问题（高中阶段）

b) 求复合函数定义域时应考虑的问题

① 已知f(x)的定义域，求解f(φ(x))的定义域

f(x)的定义域是D，f(φ(x))的定义域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合

② 已知f(φ(x))的定义域，求解f(x)的定义域

f(φ(x))的定义域是D，f(x)的定义域就是 在D上的值域

③ 已知f[g(x)]定义域为C,求f[h(x)]的定义域

实质是已知x的范围为C,以此先求出g(x)的范围（即f(x)的定义域）；然后将其作为h(x)的范围,以此再求出x的范围.

c) 求解一般方法：根据上述约束和/或限制，可列出不等式组，然后再求解。

3. 典型示例

例1、求下列函数的定义域

(1) y=√(2x-x^2 )

(2) y=1/√(|x|-x)

(3) y=1/√(1-x)+(x+1) ^0

解：（1）依题意可得：

2x-x2≥0，

解得：0≤x≤2，

所以函数的定义域为{x|0≤x≤2}。

（2）依题意可得：

|x|-x>0，

解得：x<0，

所以函数的定义域为{x|x<0}。

（3）依题意可得：

1-x>0 且 x+1≠0，

解得：x<1且x≠-1，

所以函数的定义域为{x|x<1且x≠-1}。

例2设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x^2)的定义域为___；函数f(√x-2)的定义域为___。

解：f(x)的定义域为[0,1],即：

0≤x≤1，

函数f(x^2)的定义域为：

0≤x^2≤1，

x的取值为 [-1,1]，所以函数f(x^2)的定义域为[-1,1]，

函数f(√x-2)的定义域为 ：

0≤√x-2≤1，

x的取值为 [4,9]，所以函数f(√x-2)的定义域为[4,9]。

例3已知函数f(x)的定义域为 [1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

解：由题意，可得：

-1≤x-m≤1且-1≤x+m≤1，

解得：

m-1≤x≤1+m （1）,

且 -1-m≤x≤1-m, （2），

当m=0时，-1≤x≤1，m=0满足题意,

当m>0时，为了定义域存在，以上(1)，(2)两式必须有交集，即：

m-1≤1-m, 且m>0， 得0<m≤1,

当m<0时，同理要满足：

-1-m≤1+m, 且m<0， 得-1≤m<0,

综上可知，所求m的取值范围为：-1 ≤ m ≤ 1。

讲解：

① 正确理解并掌握复合函数定义域求法；

② 当出现参数时，要分类讨论。

例4 某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(件) (x∈N, 1≤x<99)的关系符合如下规律：

又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元。求该厂日盈利额T（元）关于日产量x（件）的函数?

解：由题意：当日产量为x件时，次品率为：

P = 2/(100-x)，

则次品个数为：

2x/(100-x)，

正品个数为：

x- 2x/(100-x)，

所以

T=100×[x-2x/(100-x)]-100×2x/(100-x)，

即

T=100[x-4x/(100-x)]，（x∈N，且1≦x≦89)。

讲解：

① 函数实际应用中，函数的定义域要根据实际情况来求解；

② 要注意实际应用中实际意义及其可能约束，如猪的头数是整数、边长的长度是正数等。

例5若函数f(x)=log2^(mx^2+mx+1)的定义域为R，则m的取值范围是______.

解：∵函数f(x)=log2^(mx2+mx+1)的定义域为R，

(提示：定义域的逆向应用)

∴mx^2+mx+1＞0在R上恒成立，

（1）当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；

（2）当m≠0时，有：

m>0，

且 =m^2-4m<0，

解得：0<m<4，

综上，实数m的取值范围是[0，4）。

例6已知实数a≠0，x<1时，函数f(x)=2x+a；x≥1时，函数f(x)=-x-2a。若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为______。

解：当a>0时，1-a<1，1+a>1，

∴ 2(1-a)+a = -1-a-2a，解得a=-3/2 < 0，舍去。

当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1，

∴ -1+a-2a = 2+2a+a，解得a=-3/4，

故所求a的值为-3/4。

讲解：

① 提示：本题为定义域的逆向应用

② 一般要求：快捷、准确地理解函数表达式及其特征和意义。

③ 两个提示

a) 这里是分段函数，而分段函数在分段点附近需要多留意；

b) 有参数时，要进行分类讨论。

④ 思考：为何a的讨论是以0作为分界点呢？